RME의 수학 학습원리

 

1) 구체적 현상의 탐구 원리 (Phenomenologiaclexploration by meanscontext)

현실적 수학교육에서는 맥락문제가 학생들 스스로 수학을 재발명하게 하기 위한 기점으로서의 기능을 한다. 이때 맥락문제에서 맥락이 의미하는 것은 어떤 구체적인 수업과정에서 학생들에게 열려 있는,수학화 되어야 할 현실영역(Freudenthal,1991)이다. 그래서 그 형태와 기능이 전통적인 문장제 문제보다 더 폭넓은 개념이다. 이 맥락문제의 형태는 문장제 문제와 비슷하지만 연극이나 게임으로 나타낼 수 있고 이야기로 설명될 수 있으며 신문 스크랩으로 제시될 수 있고 모형이나 그래프로 나타낼 수 있다. 이런 맥락문제가 주어지면 첫 번째 단계에서 현실세계의 문맥문제를 수학화하려는 관점을 가지고 직관적으로 탐구하고 여기서 문제의 수학적 측면들을 알아내고 규칙성을 발견하도록 해야 한다.강한 직관적 특성을 갖는 초기의 탐구는 수학적 개념의 발견 도는 재발명으로 인도되어야 한다. 두 번째 단계에서 학생들 간의 상호작용 그리고 학생들의 형식화 추상화능력과 같은 요인들에 의존해서 현실 상황으로부터 수학적 개념을 추출해 내어야 한다. 세 번째 단계에서 형식화와 추상화의 단계로서 예상되고 결과적으로 발생되는 수학적 개념에 대한 기술과 엄격하고 형식적인 정의가 뒤따르고 네 번째 단계에서 개념을 새로운 문제에 적용함으로써 개념을 강화하고 일반화하는 단계에 이른다. 이때,현상학적 접근이라는 것은 고려중인 수학적 개념과 구조가 스스로 밝혀지도록 모든 현상을 정당하게 다룬다는 것이다. 이런 맥락문제는 다음과 같은 기능을 한다.

  가) 개념형성-수업 초기 단계에서 학생들이 학습할 개념에 자연스럽게 그리고 호기심을 갖고 접근할 수 있게 한다.

  나) 모델형성-형식적인 조작,절차,기호,규칙을 학습하도록 돕고 다른 매체와 시각적인 모형을 제공하여 사고의 기능을 지원한다.

  다) 응용가능-맥락문제는 응용의 근원이고 응용의 영역으로 현실을 밝혀낸다.

  라) 훈련-적용된 상황에서 특별한 산술 능력을 연습할 수 있도록 하는것이다.

 

2) 수직적 도구에 의한 수준 상승의 원리(Brindgingbyverticalinstruments)

수직적 도구란 첫 번째 수준에서의 직관적, 구체적, 비형식적 맥락에 결합된 조작과 세 번째 수준에서 반성적, 추상적, 형식적, 체계적 조작간의 수준 차이를 좁히는데 도움이 되도록 화살표 기호와 같은 시각적 모델, 상황모델, 도식다이어그램, 기호와 같은 수학적 도구가 탐구되며 개발된다는 것을 의미하는 것이다. 이런 수학적 도구는 그대로 부과되기보다는 학생들이 맥락에 대한 적절한 자신의 생각을 표현할 수 있는 도구 즉 자기-개발적 모델들을 만들어 보는 기회가 제공되어야 한다.

Gravemijer(1994)는 이러한 자기-개발적 모델이 비형식적 지식과 형식적 지식을 이어주는 역할을 한다고 말한다. 처음에 주어진 상황에 대해 자신의 경험과 상식을 바탕으로 학생들이 스스로 주어진 상황에 대한 모델을 만들 고 이러한 모델은 수학적 추론을 위한 모델로서 역할이 바뀌어 그 자체가 탐구 대상이 된다고 한다.그런 다음 이것이 형식적 수학 즉 표준적 알고리즘을 형성하게 된다는 것이다. 즉 모델은 추상화,일반화, 단일화, 반성적 사고, 예측을 가능하게 하는 도구가 된다. 구조주의적 관점에서는 모델은 이미 만들어진 모델로써 제시되는 반면 RME에서는 학생 스스로 모델을 만들어낸다. 즉, 문제를 해결하는 과정에서 모델이 발생한다. 따라서 이 과정에서 학생들의 비형식적, 상황적 지식이 점차 추상화되고 세련되어 형식적 수학을 위한 토대를 제공하게 된다.

 

3) 학생들의 구성과 산물을 통한 반성적 사고 촉진 원리(Pupils'own constructionsandproductions)

학생의 구성에 대해 말할 때는 아동의 활동을 강조하고, 산물에 대해 말할 때는 학생의 반성을 강조한다.이때 갈등이나 학생들 자신의 활동은 반성적 사고가 일어나도록 하는 데 도움이 되고 이 반성적 사고는 사고의 수준 상승을 촉진한다. 따라서 학생의 창조적인 활동과 반성적인 사고를 활성화하기 위해서 개방형 문제나 불완전한 문제를 풀게 한다. 이는 수학화의 기회를 극대화하는 것인데 학생들은 이런 창작활동을 통해 그들의 잘못된 생각을 드러냄으로써 교수학습과정의 반성과 예견의 이론적 기반을 제시해 주고 용어, 기호 기술법, 도식, 모델을 만드는 활동은 수직적, 수평적 수학화 모두에 공헌한다. 이 학습지도과정에서 중시해야 할 것은 출발 단계에서 학생들의 비형식적 방법을 이용할 기회를 극대화시키는 것이고 자신들의 활동을 반성하게 함으로써 단축화와 간소화를 유도하여 자신에 대한 진단을 할 수 있는 기회를 제공할 수 있도록 해야 하며, 나아가서 표준적인 형식적 절차와의 접목이 이루어지도록 해야 한다. 이 때 교사에 의한 안내가 있으나 수업을 이끌어 가는 것은 본질적으로 학생인 것이다.

 

4) 상호작용의 원리(Interactiveinstruction)

상호작용 수업이란 학생들에게는 서로 참여하여 의논하며 타협하고, 협동하며 재검토하는 기회가 주어지고, 교사는 설명을 자제하고 조력자, 안내자로서의 역할을 담당하는 것을 말한다. 즉, 학생들은 자신의 풀이 방법을 설명하고 정당화하고, 다른 사람의 풀이를 이해하고 동의하거나 반대하면서 다른 방법을 찾아가는 과정 속에서 반성적 사고가 일어나고 더 나은 아이디어를 창조해 낼 수 있다. 왜냐하면 학생들은 친구들의 구성과 산물을 보고 자신들의 학습경로를 단축하려고 할 수 있고, 다른 이들의 절차에 대해서 스스로 해보려고 할 수도 있고, 자신의 산물의 장점이나 결함을 인식하게 될 수 있기 때문이다.

 

5) 학습내용의 혼합을 통한 구조화의 원리(Intertwining of learning strands;thebroaderconnection)

수학을 학습한다는 것은 지식과 기술의 요소를 서로 분리하여 생각하는 것이 아니라 잘 조직된 의미 있는 전체로 이루어진 구조화된 지식과 기술을 구성하는 것을 의미하는 것이다. 그래서 여러 가지 학습내용을 포함하고 있는 전형적인 예로서 작용할 수 있는 문제 상황을 찾아내는 것이 중요하다.

또한 수학을 학습한다는 것은 단편적인 지식과 기능을 수동적으로 받아들이는 것이 아니라 지식과 기능에 의해 새롭게 조직되어야 한다. 즉 새로운 관점에서 기존의 지식을 살펴보는 기회를 마련해야 하고 교사는 이런 기회를 충분히 제공해야 한다.

따라서 하나의 새로운 개념과 기능을 알기 위한 출발점이 되는 예견학습과 새로운 개념과 기능을 알았을 때 기존의 지식 체를 새로운 안목에서 보는 회고학습이 이루어져야한다. 예견학습과 회고 학습의 연장선상에서 학습영역의 혼합을 생각해 볼 수 있는데 이것은 관련된 학습과정을 전체로 보는 관점이다. 그뿐 아니라 수학의 다양한 영역들이 횡적․종적으로 연결되어 전체적인 구조화가 이루어질 때 수학을 여러 복합적인 상황에 응용할 수 있다.